3月14日はパイの日、円周率の日、数学の日です。
円周率の兀(パイ) ≒ 3.14 ということから日本パイ協会が2002年に制定しました。
円周率の日も同様です。
数学の日は、日本数学検定協会（数研財団）が円周率の日でもあることやアインシュタインの誕生日（1879/3/14）であることから、1997年に制定しています。
・円周率の値を100桁まで表示すると、
兀 = 3.
0001: 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
0051: 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
今年もひまわり（向日葵）を何本か育てました。
最も背の高いものも葉が枯れたので茎の上部からカットし、種を数えてみました。
花（頭状花序＝とうじょうかじょ）の直径は約25cmで、まさに巨大です。
ひまわりの種は、よく観察すると色々な渦巻き状に配置されていて、各渦巻の数は通常はフィボナッチ（Fibonacci）数列と呼ばれる数列に現れる数値になっています。
フィボナッチ数列は ０、１ で始まり、その後は前の２項の和となっている数列です。
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ・・・
写真の赤で示した渦巻きを数えると89本でした。
1本の渦巻き（らせん）上には約30個の種があり、従って全体では2,000個以上になります。
今までは1000個くらいと思っていましたが、それを遥かに上回る数です。
開花時の様子です（上記は左側のひまわりの種）。
円周率パイの値を10,000桁まで表示すると、
π = 3.
0001: 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
0051: 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
0101: 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128
0151: 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
0201: 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091
0251: 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
0301: 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436
0351: 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
0401: 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548
0451: 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912
0501: 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798
0551: 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132
0601: 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872
0651: 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235
0701: 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960
0751: 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859
0801: 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881
0851: 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303
0901: 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778
0951: 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989
1001: 3809525720 1065485863 2788659361 5338182796 8230301952
1051: 0353018529 6899577362 2599413891 2497217752 8347913151
1101: 5574857242 4541506959 5082953311 6861727855 8890750983
1151: 8175463746 4939319255 0604009277 0167113900 9848824012
1201: 8583616035 6370766010 4710181942 9555961989 4676783744
1251: 9448255379 7747268471 0404753464 6208046684 2590694912
1301: 9331367702 8989152104 7521620569 6602405803 8150193511
1351: 2533824300 3558764024 7496473263 9141992726 0426992279
1401: 6782354781 6360093417 2164121992 4586315030 2861829745
1451: 5570674983 8505494588 5869269956 9092721079 7509302955
1501: 3211653449 8720275596 0236480665 4991198818 3479775356
1551: 6369807426 5425278625 5181841757 4672890977 7727938000
1601: 8164706001 6145249192 1732172147 7235014144 1973568548
1651: 1613611573 5255213347 5741849468 4385233239 0739414333
1701: 4547762416 8625189835 6948556209 9219222184 2725502542
1751: 5688767179 0494601653 4668049886 2723279178 6085784383
1801: 8279679766 8145410095 3883786360 9506800642 2512520511
1851: 7392984896 0841284886 2694560424 1965285022 2106611863
1901: 0674427862 2039194945 0471237137 8696095636 4371917287
1951: 4677646575 7396241389 0865832645 9958133904 7802759009
2001: 9465764078 9512694683 9835259570 9825822620 5224894077
2051: 2671947826 8482601476 9909026401 3639443745 5305068203
2101: 4962524517 4939965143 1429809190 6592509372 2169646151
2151: 5709858387 4105978859 5977297549 8930161753 9284681382
2201: 6868386894 2774155991 8559252459 5395943104 9972524680
2251: 8459872736 4469584865 3836736222 6260991246 0805124388
2301: 4390451244 1365497627 8079771569 1435997700 1296160894
2351: 4169486855 5848406353 4220722258 2848864815 8456028506
2401: 0168427394 5226746767 8895252138 5225499546 6672782398
2451: 6456596116 3548862305 7745649803 5593634568 1743241125
2501: 1507606947 9451096596 0940252288 7971089314 5669136867
2551: 2287489405 6010150330 8617928680 9208747609 1782493858
2601: 9009714909 6759852613 6554978189 3129784821 6829989487
2651: 2265880485 7564014270 4775551323 7964145152 3746234364
2701: 5428584447 9526586782 1051141354 7357395231 1342716610
2751: 2135969536 2314429524 8493718711 0145765403 5902799344
2801: 0374200731 0578539062 1983874478 0847848968 3321445713
2851: 8687519435 0643021845 3191048481 0053706146 8067491927
2901: 8191197939 9520614196 6342875444 0643745123 7181921799
2951: 9839101591 9561814675 1426912397 4894090718 6494231961
3001: 5679452080 9514655022 5231603881 9301420937 6213785595
3051: 6638937787 0830390697 9207734672 2182562599 6615014215
3101: 0306803844 7734549202 6054146659 2520149744 2850732518
3151: 6660021324 3408819071 0486331734 6496514539 0579626856
3201: 1005508106 6587969981 6357473638 4052571459 1028970641
3251: 4011097120 6280439039 7595156771 5770042033 7869936007
3301: 2305587631 7635942187 3125147120 5329281918 2618612586
3351: 7321579198 4148488291 6447060957 5270695722 0917567116
3401: 7229109816 9091528017 3506712748 5832228718 3520935396
3451: 5725121083 5791513698 8209144421 0067510334 6711031412
3501: 6711136990 8658516398 3150197016 5151168517 1437657618
3551: 3515565088 4909989859 9823873455 2833163550 7647918535
3601: 8932261854 8963213293 3089857064 2046752590 7091548141
3651: 6549859461 6371802709 8199430992 4488957571 2828905923
3701: 2332609729 9712084433 5732654893 8239119325 9746366730
3751: 5836041428 1388303203 8249037589 8524374417 0291327656
3801: 1809377344 4030707469 2112019130 2033038019 7621101100
3851: 4492932151 6084244485 9637669838 9522868478 3123552658
3901: 2131449576 8572624334 4189303968 6426243410 7732269780
3951: 2807318915 4411010446 8232527162 0105265227 2111660396
4001: 6655730925 4711055785 3763466820 6531098965 2691862056
4051: 4769312570 5863566201 8558100729 3606598764 8611791045
4101: 3348850346 1136576867 5324944166 8039626579 7877185560
4151: 8455296541 2665408530 6143444318 5867697514 5661406800
4201: 7002378776 5913440171 2749470420 5622305389 9456131407
4251: 1127000407 8547332699 3908145466 4645880797 2708266830
4301: 6343285878 5698305235 8089330657 5740679545 7163775254
4351: 2021149557 6158140025 0126228594 1302164715 5097925923
4401: 0990796547 3761255176 5675135751 7829666454 7791745011
4451: 2996148903 0463994713 2962107340 4375189573 5961458901
4501: 9389713111 7904297828 5647503203 1986915140 2870808599
4551: 0480109412 1472213179 4764777262 2414254854 5403321571
4601: 8530614228 8137585043 0633217518 2979866223 7172159160
4651: 7716692547 4873898665 4949450114 6540628433 6639379003
4701: 9769265672 1463853067 3609657120 9180763832 7166416274
4751: 8888007869 2560290228 4721040317 2118608204 1900042296
4801: 6171196377 9213375751 1495950156 6049631862 9472654736
4851: 4252308177 0367515906 7350235072 8354056704 0386743513
4901: 6222247715 8915049530 9844489333 0963408780 7693259939
4951: 7805419341 4473774418 4263129860 8099888687 4132604721
5001: 5695162396 5864573021 6315981931 9516735381 2974167729
5051: 4786724229 2465436680 0980676928 2382806899 6400482435
5101: 4037014163 1496589794 0924323789 6907069779 4223625082
5151: 2168895738 3798623001 5937764716 5122893578 6015881617
5201: 5578297352 3344604281 5126272037 3431465319 7777416031
5251: 9906655418 7639792933 4419521541 3418994854 4473456738
5301: 3162499341 9131814809 2777710386 3877343177 2075456545
5351: 3220777092 1201905166 0962804909 2636019759 8828161332
5401: 3166636528 6193266863 3606273567 6303544776 2803504507
5451: 7723554710 5859548702 7908143562 4014517180 6246436267
5501: 9456127531 8134078330 3362542327 8394497538 2437205835
5551: 3114771199 2606381334 6776879695 9703098339 1307710987
5601: 0408591337 4641442822 7726346594 7047458784 7787201927
5651: 7152807317 6790770715 7213444730 6057007334 9243693113
5701: 8350493163 1284042512 1925651798 0694113528 0131470130
5751: 4781643788 5185290928 5452011658 3934196562 1349143415
5801: 9562586586 5570552690 4965209858 0338507224 2648293972
5851: 8584783163 0577775606 8887644624 8246857926 0395352773
5901: 4803048029 0058760758 2510474709 1643961362 6760449256
5951: 2742042083 2085661190 6254543372 1315359584 5068772460
6001: 2901618766 7952406163 4252257719 5429162991 9306455377
6051: 9914037340 4328752628 8896399587 9475729174 6426357455
6101: 2540790914 5135711136 9410911939 3251910760 2082520261
6151: 8798531887 7058429725 9167781314 9699009019 2116971737
6201: 2784768472 6860849003 3770242429 1651300500 5168323364
6251: 3503895170 2989392233 4517220138 1280696501 1784408745
6301: 1960121228 5993716231 3017114448 4640903890 6449544400
6351: 6198690754 8516026327 5052983491 8740786680 8818338510
6401: 2283345085 0486082503 9302133219 7155184306 3545500766
6451: 8282949304 1377655279 3975175461 3953984683 3936383047
6501: 4611996653 8581538420 5685338621 8672523340 2830871123
6551: 2827892125 0771262946 3229563989 8989358211 6745627010
6601: 2183564622 0134967151 8819097303 8119800497 3407239610
6651: 3685406643 1939509790 1906996395 5245300545 0580685501
6701: 9567302292 1913933918 5680344903 9820595510 0226353536
6751: 1920419947 4553859381 0234395544 9597783779 0237421617
6801: 2711172364 3435439478 2218185286 2408514006 6604433258
6851: 8856986705 4315470696 5747458550 3323233421 0730154594
6901: 0516553790 6866273337 9958511562 5784322988 2737231989
6951: 8757141595 7811196358 3300594087 3068121602 8764962867
7001: 4460477464 9159950549 7374256269 0104903778 1986835938
7051: 1465741268 0492564879 8556145372 3478673303 9046883834
7101: 3634655379 4986419270 5638729317 4872332083 7601123029
7151: 9113679386 2708943879 9362016295 1541337142 4892830722
7201: 0126901475 4668476535 7616477379 4675200490 7571555278
7251: 1965362132 3926406160 1363581559 0742202020 3187277605
7301: 2772190055 6148425551 8792530343 5139844253 2234157623
7351: 3610642506 3904975008 6562710953 5919465897 5141310348
7401: 2276930624 7435363256 9160781547 8181152843 6679570611
7451: 0861533150 4452127473 9245449454 2368288606 1340841486
7501: 3776700961 2071512491 4043027253 8607648236 3414334623
7551: 5189757664 5216413767 9690314950 1910857598 4423919862
7601: 9164219399 4907236234 6468441173 9403265918 4044378051
7651: 3338945257 4239950829 6591228508 5558215725 0310712570
7701: 1266830240 2929525220 1187267675 6220415420 5161841634
7751: 8475651699 9811614101 0029960783 8690929160 3028840026
7801: 9104140792 8862150784 2451670908 7000699282 1206604183
7851: 7180653556 7252532567 5328612910 4248776182 5829765157
7901: 9598470356 2226293486 0034158722 9805349896 5022629174
7951: 8788202734 2092222453 3985626476 6914905562 8425039127
8001: 5771028402 7998066365 8254889264 8802545661 0172967026
8051: 6407655904 2909945681 5065265305 3718294127 0336931378
8101: 5178609040 7086671149 6558343434 7693385781 7113864558
8151: 7367812301 4587687126 6034891390 9562009939 3610310291
8201: 6161528813 8437909904 2317473363 9480457593 1493140529
8251: 7634757481 1935670911 0137751721 0080315590 2485309066
8301: 9203767192 2033229094 3346768514 2214477379 3937517034
8351: 4366199104 0337511173 5471918550 4644902636 5512816228
8401: 8244625759 1633303910 7225383742 1821408835 0865739177
8451: 1509682887 4782656995 9957449066 1758344137 5223970968
8501: 3408005355 9849175417 3818839994 4697486762 6551658276
8551: 5848358845 3142775687 9002909517 0283529716 3445621296
8601: 4043523117 6006651012 4120065975 5851276178 5838292041
8651: 9748442360 8007193045 7618932349 2292796501 9875187212
8701: 7267507981 2554709589 0455635792 1221033346 6974992356
8751: 3025494780 2490114195 2123828153 0911407907 3860251522
8801: 7429958180 7247162591 6685451333 1239480494 7079119153
8851: 2673430282 4418604142 6363954800 0448002670 4962482017
8901: 9289647669 7583183271 3142517029 6923488962 7668440323
8951: 2609275249 6035799646 9256504936 8183609003 2380929345
9001: 9588970695 3653494060 3402166544 3755890045 6328822505
9051: 4525564056 4482465151 8754711962 1844396582 5337543885
9101: 6909411303 1509526179 3780029741 2076651479 3942590298
9151: 9695946995 5657612186 5619673378 6236256125 2163208628
9201: 6922210327 4889218654 3648022967 8070576561 5144632046
9251: 9279068212 0738837781 4233562823 6089632080 6822246801
9301: 2248261177 1858963814 0918390367 3672220888 3215137556
9351: 0037279839 4004152970 0287830766 7094447456 0134556417
9401: 2543709069 7939612257 1429894671 5435784687 8861444581
9451: 2314593571 9849225284 7160504922 1242470141 2147805734
9501: 5510500801 9086996033 0276347870 8108175450 1193071412
9551: 2339086639 3833952942 5786905076 4310063835 1983438934
9601: 1596131854 3475464955 6978103829 3097164651 4384070070
9651: 7360411237 3599843452 2516105070 2705623526 6012764848
9701: 3084076118 3013052793 2054274628 6540360367 4532865105
9751: 7065874882 2569815793 6789766974 2205750596 8344086973
9801: 5020141020 6723585020 0724522563 2651341055 9240190274
9851: 2162484391 4035998953 5394590944 0704691209 1409387001
9901: 2645600162 3742880210 9276457931 0657922955 2498872758
9951: 4610126483 6999892256 9596881592 0560010165 5256375678
上記円周率の値の小数点以下の数字列に現れる各数字０～９の出現頻度は下表のとおりで、各数字０～９がほぼ均等に現れることが確認できます。
50,000桁までの値は下記アプリで計算・表示できます。
日本の新型主力ロケットH3の1号機は先日（2023/3/7）種子島宇宙センター（鹿児島県）から発射されましたが、2段目エンジンが点火せず、残念ながら失敗に終わりました。
ところで、ロケットとよく似たものとしてミサイルがあります。
両者の違いについてはネット上でも色々と説明されています。誘導装置の有無もその1つですが、結構曖昧なように感じます。
ここでは、ミサイルのロフテッド軌道について調べてみました。
コトバンクによれば：
ロフテッド（Lofted）軌道とは、
・通常の発射方法より角度を上げ、高い高度に打ち上げられた弾道ミサイルの飛行経路。
・射程距離は通常より短くなるが、1000キロメートルを超える高高度から落下するような軌道をとることで、
着弾間際の速度がより高速になる。
・そのため、イージス艦などでの迎撃が困難とされている。
とあります。
地上から近距離への発射であれば、その軌道は放物線であり、発射角度 45度の時に飛行距離は最大となります。
地球を球体と仮定し、大気の摩擦を無視し、ミサイルには地球との間の引力しか作用しないとして万有引力の法則をベースに運動方程式を構成し、これを解くと軌道が得られます。
軌道は一般に円錐曲線（楕円や放物線）となります。
発射角度 A0の違いによる軌道変化を計算すると、下記の図が得られます（発射速度＝7km/sの場合）。
75°で発射すると、45°の場合に比べて約1/3の飛行距離となりますが、最高高度は地上約4,000kmにも達します。
A0 = 15°： 飛行距離 L＝約8,000 km
A0 = 30°： 飛行距離 L＝約8,800 km
A0 = 45°： 飛行距離 L＝約7,300 km
A0 = 60°： 飛行距離 L＝約5,100 km
A0 = 75°： 飛行距離 L＝約2,600 km
ー＞ ミサイルの着弾と弾着
ロシアのウクライナ侵略における多くのミサイルの発射や、北朝鮮の弾道ミサイルの度重なる発射など、「ミサイル」という言葉が毎日のようにニュースに登場します。
ところで、ミサイルが発射されて地上に落下することを何と言うでしょうか。
一般的には「着弾」と言いますが、調べてみると「弾着」という言い方もあるようです。
両者に違いはあるのでしょうか。
ネット上には、
・着弾は「弾」が届くこと全般
・弾着は、弾が届いた「地点もしくはその時間」のこと
・組織によって（陸軍、海軍など）どちらを使うか慣例的に決まっている
などと紹介されていました。
ミサイルの軌道は発射角度と速度が与えられればほぼ計算できます。
地上（ｈ＝０）から近距離への発射であれば、その軌道は放物線であり、発射角度 θ＝45度の時に飛行距離は最大となります。
山頂や飛行機などからの発射（ｈ＞０）の場合には θ<45度で飛行距離が最長となることがあります。
長距離ミサイルの場合には地球の丸みや上空での重力変化、空気抵抗の変化などを考慮する必要があり、軌道計算は複雑になります。
蛇足ですが、日本語には前後を入れ替えた熟語が色々あり、一般的には意味が異なります。
・社会と会社
・神明と明神
・出家と家出
・国王と王国
・
・
整数ｎの階乗は １からｎまでのすべての整数の積です。
例えば、
5！= 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120
500! = 1 x 2 x 3 x ・・・ x 500 =
1220136825 9911100687 0123878542 3046926253 5743428031 9284219241 3588385845 3731538819 9760549644 7502203281
8630136164 7714820358 4163378722 0781772004 8078520515 9329285477 9075719393 3060377296 0859086270 4291745478
8242491272 6344305670 1732707694 6106280231 0452644218 8787894657 5477714986 3494367781 0376442740 3382736539
7471386477 8784954384 8959553753 7990423241 0612713269 8432774571 5546309977 2027810145 6108118837 3709531016
3563244329 8702956389 6628911658 9747695720 8792692887 1281780070 2651745077 6841071962 4390394322 5364226052
3494585012 9918571501 2487069615 6814162535 9056693423 8130088562 4924689156 4126775654 4818865065 9384795177
5360894005 7452389403 3579847636 3944905313 0623237490 6644504882 4665075946 7358620746 3792518420 0459369692
9810222639 7195259719 0945217823 3317569345 8150855233 2820762820 0234026269 0789834245 1712006207 7146409794
5611612762 9145951237 2299133401 6955236385 0942885592 0187274337 9517301458 6357570828 3557801587 3543276888
8680120399 8823847021 5146760544 5407663535 9841744304 8012893831 3896881639 4874696588 1750450692 6365338175
0554781286 4000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 00000 (1135桁）
となります。
n! の値における、数字（0 - 9）の出現度数は １～９はほぼ同割合で、０だけはそれらの約2倍となっています。
n = 2500 までの整数の階乗を求められるサイトを紹介します。
上空約10,000m（10km）付近を飛行する飛行機。
その飛行音は飛行機の現在位置からかなり遅れた方向から聞こえてきます。
それでは、音の聞こえる方向からどの程度先に見えるのでしょうか。
概算してみました。
飛行機の巡航速度は通常、音速より若干遅い 1,000km/h程度のようです。
音速を300m/sとします。
上空 h = 10,000mから地上へ音が到達する時間、その間に飛行機が進む距離からズレ角度を計算すると、音の聞こえる方向から飛行方向に θ = 40～50度先を見れば、飛行機の姿を目撃できることがわかりました。
雲の少ない、よく晴れた日に飛行機の音が聞こえたら、上空をじっくり眺めてみるのもいいものです。
ー＞ 詳細はこちら
整数ｎの階乗は １からｎまでのすべての整数の積です。
例えば、
５！= 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120
となります。
ｎが大きい時は、次のスターリングの公式で ｎ！の近似値を求めることができます。
n! ～ sqr(2πn)(n/e)^n
ここで、
sqr： 平方根
π ： 円周率（3.1415926535・・・）
e ： 自然対数の底（2.718281828・・・）
５！をスターリングの近似式で計算すると、下記の値が得られます。
５！ ≒ 118.0191679575901 （真値に対して約２％の誤差）
現在使用中の電波腕時計が時々狂うので、時々標準電波受信帯の夜間に受信しやすい窓際に、時計の向きを電波送信所（広島市では九州局/はがね山）の方向に合わせ置いたりしています。
通常の置き場所が悪いのか、時計の向きが悪いのかわかっていません。
そこで、通常の置き場所に置いて、夜間だけ電波を受信しやすい向きを置いて様子をみることとしました。
この時計にはケース内部の9時位置に電波受信用のアンテナが組み込まれています。
電波時計は国内の下記2局の電波送信所（福島局と九州局）から送信される標準電波（時刻情報） を自動選局し、時刻やカレンダーを自動修正しますが、電波の受信開始から終了まで結構時間がかかるようです。
● 国内の電波送信所
国内にある2箇所の送信所は以下のとおりで、各局から900～1,000kmが受信可能範囲です。
ここ広島市では両方の電波が受信可能ですが、近い九州局の電波を受信しているものと思われます。
・福島局
福島県大鷹鳥谷山（標高794m）のおおたかどや山標準電波送信所
送信周波数 40kHz
・九州局
福岡県と佐賀県との県境に位置する羽金山（標高900m）のはがね山標準電波送信所
送信周波数 60kHz
写真は九州局です（Google Mapより）。
広島市のほぼ西南西の方向になります。
この時計には前記のようにケース内部の9時位置に電波受信用のアンテナが組み込まれていますので、これが西南西の方向になるように夜間置いています。
約2週間経過しましたが、今のところ正確に時を刻んでいます。
尚、時計の取説をよく読むと下記のような説明が記載されています。
・ケース内部の9時位置に、電波受信用のアンテナが組み込まれている。
・アンテナを電波送信所の方向に向けて窓際に置く。
・極端に高温や低温の場所では受信しにくい。
・バンドはなるべくアンテナの下に来ないよう、伸ばしておく。
2週間ほど前に電波腕時計が、壁掛けの電波時計やラジオの時報に比べて5秒ほど進んでいるのに気付き、一晩別の窓際Aに置いておいたらまた正確な時を刻み出しました。
この腕時計、午前２時と４時の２回、自動的に電波を受信するタイプですが、その後元の場所に戻しておいたところ、今度は１～２秒狂ってきました。
前回と同様に夜間、窓際Aに置いておいたらまた正確な時を刻み出しました。
購入後２～３年ですが、当初はこのようなことは皆無で、以前に比べて何らかの事情で電波の受信状況が変わったのでしょうか。
