スマホでモバイルネットワーク通信（パケット通信）をオフにすると

インターネット検索やEメール送受信などのモバイルネットワーク通信（モバイルデータ通信、パケット通信）は必要に応じてオン/オフすることができます。

スマホの機種にもよりますが、

　・本体設定　－＞　通信の設定　－＞　モバイルネットワーク　－＞ データ通信を有効にする

を「オフ」にすればOKです。

モバイルネットワーク通信をオフにしても、電話やSMS（docomoではショートメール）はできますし、Wi-Fiに接続していればネット検索やメールも可能です。

手許にあるdocomoの取説には、
・アプリによっては自動的にパケット通信を行うものがあります。
・パケット通信を切断するかタイムアウトにならないかぎり、接続されたままになります。
・必要に応じて、パケット通信の有効／無効を切り替えてください。

と書かれています。