■ 車の数学（26）：　車の運転と最小回転半径　～計算式～

　アプリ「車の運転と最小回転半径」で使用している主な計算式（左旋回時）についてまとめています。

● モデル図
　簡単なトレーラー付き車両とドリー式フルトレーラーが付いた車両のモデル図です。

　・簡単なトレーラー
　　
　・ドリー式トレーラー
　　　ドリー（ドーリー、Dolly）とはトレーラーの前軸台車で、連結部を中心に回転します。
　　
● 各部の回転半径（Ri）の計算式
　左側前輪の切れ角とαとし、その時の各部位の回転半径の計算式を示します。
　　　（注）sqr ： 平方根、^ ： べき乗
　・右側前輪の切れ角 β（アッカーマン理論曲線）
　　　1/tanβ ＝ 1/tanα + T/W

　・簡単なトレーラー
　　

R0  = W/sinα
R2  = R1・cosα
R1  = sqr[(R2+T)^2 + W^2]
R3  = R2+T
R4  = sqr[(R2-(B-T)/2)^2 + (W+A1)^2]
R5  = sqr[(R2+T+(B-T)/2)^2 + (W+A1)^2]
R6  = sqr[(R2-(B-T)/2)^2 + (W+A1-A)^2]
R7  = sqr[(R2+T+(B-T)/2)^2 + (W+A1-A)^2]
　…　車両本体の計算式はここまで　…
R8  = sqr[(R2+T/2)^2 + C^2]
R9  = sqr[R8^2 - D^2] - Tt/2
R10 = sqr[R8^2 - D^2] + Tt/2
R11 = sqr[(R9-(Bt-Tt)/2)^2 + E^2]
R12 = sqr[(R10+(Bt-Tt)/2)^2 + E^2]
R13 = sqr[(R9-(Bt-Tt)/2)^2 + F^2]
R14 = sqr[(R10+(Bt-Tt)/2)^2 + F^2]
R15 = sqr[(R2+T/2)^2 + (W+A1-A)^2]
R16 = sqr[(R9+Tt/2)^2 + E^2]

　・ドリー式トレーラー
　　

R0～R7： 前項と同じ

R8  = sqr[(R2+T/2)^2 + C^2]
R17 = sqr[R8^2 - Do^2]
R18 = R17 - Tt/2
R19 = R17 + Tt/2
R9  = sqr[R17^2 - (D-Do)^2] - Tt/2
R10 = sqr[R17^2 - (D-D0)^2] + Tt/2
R11 = sqr[(R9-(Bt-Tt)/2)^2 + E^2]
R12 = sqr[(R10+(Bt-Tt)/2)^2 + E^2]
R13 = sqr[(R9-(Bt-Tt)/2)^2 + F^2]
R14 = sqr[(R10+(Bt-Tt)/2)^2 + F^2]
R15 = sqr[(R2+T/2)^2 + (W+A1-A)^2]
R16 = sqr[(R9+Tt/2)^2 + E^2]

（注）ドリー式トレーラーの計算式において、Do = 0 と置くと、R17=R8となり、前項の簡単なトレーラーの計算式に一致します。

● 各部の位置座標の計算式（ドリー式）
　車両本体の左後輪（点2）を原点とする図示座標系xyでのドリー式の各部位座標（xi, yi）の計算式を示します。
　Do = 0 と置くと、簡単なトレーラーの計算式になります。

x0  = 0                  y0  = W
x1  = T                  y1  = W
x2  = 0                  y2  = 0
x3  = T                  y3  = 0
x4  = -(B-T)/2           y4  = W+A1
x5  = T+(B-T)/2          y5  = W+A1
x6  = -(B-T)/2           y6  = W+A1-A
x7  = T+(B-T)/2          y7  = W+A1-A
x15 = T/2                y15 = W+A1-A
　…　車両本体の計算式はここまで　…

点8から点19までは、先ず車両本体とトレーラーが1直線上にある時の点8に対する相対座標を示します。

x8  = T/2                y8  = -C
x9  = -Tt/2              y9  = -D
x10 = Tt/2               y10 = -D
x11 = -Bt/2              y11 = -(D-E)
x12 = Bt/2               y12 = -(D-E)
x13 = -Bt/2              y13 = -(D+F)
x14 = Bt/2               y14 = -(D+F)
x16 = 0                  y16 = -(D-E)
x17 = 0                  y17 = -Do
x18 = -Tt/2              y18 = -Do
x19 = Tt/2               y19 = -Do

旋回時の図中の角度 φ1、φ2、φ3、φ ：

φ1 = atan[C/((R2+R3)/2)]
φ2 = asin[Do/R8]
φ3 = asin[(D-Do)/R17]
φ　= φ1 + φ2 + φ3

次に、点9から点16（点15を除く）までの上記座標を点17の回りに角φ3だけ回転します。

xi =  xi・cosφ3 + (yi+Do)・sinφ3
yi = -xi・sinφ3 + (yi+Do)・cosφ3 - Do
ここで、右辺の(xi, yi)は回転前の座標、左辺は回転後の座標。

最後に、点9から点19（点15を除く）までを点8の回りに角φ=φ1+φ2+φ3だけ回転します。

xi =  xi・cosφ + yi・sinφ
yi = -xi・sinφ + yi・cosφ
ここで、右辺の(xi, yi)は回転前の座標、左辺は回転後の座標。