■相関係数と回帰直線（JavaScript版）

　相関係数：R（correlation coefficient）は２つの変数間の相関すなわち類似性を示す指標で、－１から＋１までの値です。　この値が正のときは「正の相関」、負のときは「負の相関」があると呼びます。　相関係数が０に近いときは２つの変数間の相関は弱いことになります。

　両者の関係を直線で近似したものを回帰直線と呼び、
　　・xからyへの回帰直線：　y = a1*x + b1
　　・yからxへの回帰直線：　x = a2*y + b2
があります。
　両回帰直線はともに平均点（xm, ym）を通ります。

　２変数間の相関の程度を表すもう１つの指標に決定係数：R2があります。
　　R2 = 1 - 残差２乗和/被説明変数の全変動
　　　　= 1 - Σ[yi - (a1・xi + b1)]2/Σ(yi - ym)2　（xからyへの回帰直線の場合）

　相関係数：Rと決定係数：R2の間には、
　　R2 = R x R
の関係があります（後述）。

　下の画面にデータを打ち込んで下さい。相関係数、決定係数、回帰直線が表示されます。
ﾃﾞｰﾀ数 n： 相関係数 R： 決定係数 R2：

●相関係数：R および回帰直線の計算式
・データを(x1,y1), (x2,y2), .., (xn,yn) とする。
・平均
　　xm = Σxi/n
　　ym = Σyi/n
・分散、標準偏差
　　xの標準偏差 sx = sqrt[Σ(xi-xm)2/n]　　（注）sqrt: 平方根を表す
　　yの標準偏差 sy = sqrt[Σ(yi-ym)2/n]
　　x,yの共分散 sxy = Σ(xi-xm)(yi-ym)/n
・相関係数：R
　　R = sxy/(sx・sy)
・xからyへの回帰直線：　y = a1*x + b1
　　a1 = sxy/sx2
　　b1 = ym - a1・xm
・yからxへの回帰直線：　x = a2*y + b2 [ -> y = (1/a2)x - (b2/a2) ]
　　a2 = sxy/sy2
　　b2 = xm - a2・ym

●相関係数：R と 決定係数：R2 の関係
　xからyへの回帰直線の場合について記すが、yからxへの回帰直線でも同じ結果となる。
 
・残差２乗和（RSS：Residual Sum of Squares）
　　RSS = Σ[yi- (a1・xi+b1)]2
　　    = Σ[yi- (sxy/sx2・xi + ym - sxy/sx2・xm)]2
　　    = Σ[(yi-ym) - sxy/sx2・(xi-xm)]2
　　    = Σ(yi-ym)2 - 2・sxy/sx2Σ(xi-xm)(yi-ym) + (sxy/sx2)2Σ(xi-xm)2
　　　　= n・ sy2 - 2・n・(sxy/sx)2 + n・(sxy/sx)2 
　　　　= n・ sy2 - n・(sxy/sx)2
・被説明変数（従属変数 y）の全変動
　　DY2 = Σ(yi-ym)2
　　    = n・ sy2
・決定係数：R2
　　R2 = 1 - RSS/DY2
　　   = 1 - [n・ sy2 - n・(sxy/sx)2] / [n・ sy2]
　　   = n・(sxy/sx)2] / [n・ sy2]
　　   =(sxy/sx)2] / sy2
　　   =[sxy/(sx・sy)]2
　　   =R2
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