３球面の交点の計算式（下記）に基づいて、指定された３球面の交点を求めます。
以前、３球面の交点を求める計算式を紹介しましたが、そこではある特別な場合の手順の説明を省略しました。
ここでは、その場合の計算方法についても記載するとともに、簡単なアプリを作成しました。
・３球面の中心座標（xc, yc, zc）、半径 r を入力します。
・「計算」ボタンをクリックすると、計算結果（交点）を表示します。
●画面操作方法
・画面左上の３ｘ３のメニュー（L,R,U,D,O,XY,XZ,YZ）で左右、上下、初期状態復帰、平面図指示。
・角度刻みは変更可能。
・マウスホイールで拡大縮小が可能。
・マウスのドラッグ＆ドロップで座標系の平行移動が可能。
・各２球の交線（あれば 円）を表示できます。
・左上の小座標系の下の数値は各軸方向の実長を示す。
●３球面の交点の計算式
・Pi(xi, yi, zi)[i=1,2,3] を中心とする半径ri[i=1,2,3]の球の交点P(x,y,z)は次の３元連立方程式を
解くことで求められます。
（x1-x)2 + (y1-y)2 + (z1-z)2 = r12 ・・・(式1.1)
（x2-x)2 + (y2-y)2 + (z2-z)2 = r22 ・・・(式1.2)
（x3-x)2 + (y3-y)2 + (z3-z)2 = r32 ・・・(式1.3)
・(式1.2)および(式1.3)から(式1.1)を引いて整理すると
(x2-x1)x + (y2-y1)y + (z2-z1)z = -(A2-A1)/2 ・・・(式2.1)
(x3-x1)x + (y3-y1)y + (z3-z1)z = -(A3-A1)/2 ・・・(式2.2)
ここで、
Ai = ri2 - xi2 - yi2 - zi2 [i=1,2,3]
また、
xij = xi-xj, yij = yi-yj, zij = zi-zj [i=1,2,3]
Ai1 = -(Ai-A1)/2 [i=2,3]
とおくと(式2.1)、(式2.2)は
x21x + y21y + z21z = A21 ・・・(式3.1)
x31x + y31y + z31z = A31 ・・・(式3.2)
・(式3.1)、(式3.2)より
x = [(A21y31 - A31y21) + (y21z31 - y31z21)z] / D ・・・(式4.1)
y = [(A31x21 - A21x31) + (x31z21 - x21z31)z] / D ・・・(式4.2)
あるいは、
x = B0 + B1z ・・・(式5.1)
y = C0 + C1z ・・・(式5.2)
ここで、
D = x21y31 - y21x31 (≠0 とする、注１)
B0 = (A21y31 - A31y21)/D, B1 = (y21z31 - y31z21)/D
C0 = (A31x21 - A21x31)/D, C1 = (x31z21 - x21z31)/D
・(式5.1)、(式5.2)を(式1.1)に代入して整理すると、ｚに関する次の2次方程式が得られます。
Ez2 + 2Fz + G = 0 ・・・(式6)
ここで、
E = B12 + C12 + 1
F = B1(B0-x1) + C1(C0-y1) - z1
G = (B0-x1)2 + (C0-y1)2 + z12 - r12
・この2次方程式を解くと（（F2 - EG)1/2≧0 として）
z = [ -F ± (F2 - EG)1/2 ] / E ・・・(式7)
これを(式5.1)、(式5.2)に代入すると x、y が得られます。
(注１）D = 0の場合は別の手順で計算する必要があります（後述）。
(注２）判別式：(F2 - EG) が負のとき、交点なし。
●D = 0 の場合の計算方法（１方法）
・D は３点：P1、P2、P3 を通る平面の法線ベクトルのｚ成分です。
これが0の場合は、x、y をz の式として表現することができません。
・この場合、ここでは座標変換（軸切替）で対応しています。
即ち、値
Dx = y21*z31 - z21*y31; （法線ベクトルのｘ成分）
Dy = x21*z31 - z21*x31; （法線ベクトルのｙ成分）
を計算し、
Dx ≠ 0 のとき： x -> Y, y -> Z, z -> X
Dy ≠ 0 のとき： x -> Z, y -> X, z -> Y
のように軸切替を行って前述の計算式で交点を計算します。
・計算された交点座標を本来の軸に戻します。
・P1、P2、P3が1直線上にあるときは、D、Dx、Dy すべて0となり、交点なし。
特別な場合に交点（交線）がありますが、ここでは省略。