■ フーリエ解析（17）：　１次元離散フーリエ変換を体験しよう （JavaScript版）

　関数 f(t)の１次元離散フーリエ変換（DFT）、離散フーリエ逆変換（IDFT）は次式で定義されます。

F (k) = ∑n=0N-1 f (n)W nk 　　f (n) = (1/N)∑k=0N-1 F (k)W -nk 　　ここで、 　　　　N：　分割数 　　　　W = e-j2π/N

　次のアプリは、各種の関数 f(t)の離散フーリエ変換を行い、結果 F(k)をグラフおよび表形式にして表示します。
　グラフでは、F(k)の実数部が青、虚数部が緑で表示されます。

　「任意折線」、「任意曲線」を選択した場合は通過点を左から順にクリックして入力します（但し、横軸：0～T、縦軸：0～1 の範囲）。
　また、grid入力モードをONにすると、最も近いgrid点が入力されます。

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矩形波	３角波	ノコギリ波	台形波	｜	分割数 N..	逆変換項数
半楕円波	正弦波	任意折線	任意曲線	｜
			grid入力

　「逆変換」ボタンを押すと、F(k)から f(t) へ逆変換します。但し、逆変換は指定された項数 K（≦ N）を低周波成分側からとって、次式で計算されます（直流成分＋K項）。
　　f (n) = (1/N)∑_k=0^K/2 F (k)W ^-nk　＋　(1/N)∑_k=N-K/2^N-1 F (k)W ^-nk

・K = N の時は完全に元のサンプル値に逆変換されますが、K < N の時は誤差がでます。
・f(n)が実数値のとき、任意のk(0<k<N)に対して　F(N-k) = F(k)、即ち両者は複素共役の関係にあります。
　例えば N = 20のとき、F(17) = F(3)となり、F(17)とF(3)の実数部は等しく、虚数部は互いに絶対値が等しく異符号となります。
　これは定義式より以下のようにして証明できます。
　　F (k) = ∑_n=0^N-1 f (n)W ^nk

　　　　　 = ∑_n=0^N-1 f (n)[cos(2πnk/N) - j sin(2πnk/N)]

　　F(N-k) = ∑_n=0^N-1 f (n)[cos(2πn(N-k)/N) - j sin(2πn(N-k)/N)]

　　　　　　= ∑_n=0^N-1 f (n)[cos(-2πnk/N) - j sin(-2πnk/N)]

　　　　　　= ∑_n=0^N-1 f (n)[cos(2πnk/N) + j sin(2πnk/N)]

　　　　　　= F(k)

(注）本アプリで表示されるF(k)値は上式で計算される値を分割数Nで割った値です。