■ フーリエ解析（16）：　フーリエ変換を体験しよう （JavaScript版）

　関数　f(t)のフーリエ変換、フーリエ逆変換は次式で定義されます。

F(ω) = ∫-∞∞ f (t)e-jωt dt 　　f (t) = 1/(2π)∫-∞∞ F(ω)e jωt dω

　次のアプリは、各種の関数 f(t)のフーリエ変換を行い、結果 F(ω)をグラフにして表示します。

　「任意折線」、「任意曲線」を選択した場合は通過点を左から順にクリックして入力します（但し、横軸：-T/2～T/2、縦軸：0～1 の範囲）。
　また、grid入力モードをONにすると、最も近いgrid点が入力されます。

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矩形波	３角波	ノコギリ波	台形波	｜	表示ﾃﾞｰﾀ選択	逆変換範囲
半楕円波	正弦波	任意折線	任意曲線	｜
			grid入力

　「逆変換」ボタンを押すと、F(ω)から f(t) へ逆変換します。但し、この時はωの積分範囲を指定します。

　矩形波：
　　　f (t) = 1/T　（|t| ≦ T/2）,　　0　（|t| > T/2）
に対するフーリエ変換を定義式から求めてみましょう。
　　F(ω) = ∫_-∞^∞ f(t)e^-jωt dt

　　　　　= ∫_-T/2^T/2 (1/T)e^-jωt dt

　　　　　= 1/(-jTω) [ e^-jωt]_-T/2^T/2

　　　　　= 1/(-jTω) [ e^-jTω/2 - e^jTω/2]]

　　　　　= sin(Tω/2)/(Tω/2)
従って、F(ω)は実数値であり（虚数部は 0）、これがそのまま（振幅）スペクトルになります。
なお、上式はSinc関数と呼ばれています。

　次に逆変換ですが、F(ω)が偶関数であることから、
　　f(t) = 1/(2π)∫_-∞^∞ F(ω)e ^jωt dω
　　　　 = 1/(2π)∫_-∞^∞ F(ω)cosωt dω
　　　　 = 1/(2π)∫_-∞^∞ sin(Tω/2)/(Tω/2) cosωt dω
　　　　 = 1/π∫₀^∞ sin(Tω/2)/(Tω/2) cosωt dω

　Tω/2 = x と置くと、ω = 2x/T、dω = 2dx/T であるので、
　　f(t) = 1/π∫₀^∞ sinx cos(2xt/T) / x (2/T)dx

　　　　 = 2/(πT)∫₀^∞ sinx cos(2xt/T) / x dx

ここで、次の積分公式（Peirce No.500）：
　　∫₀^∞ [sinx cosax / x] dx

　　　= π/2 ( ｜a｜ < 1 のとき）
　　　　 π/4 ( ｜a｜ = 1 のとき）
　　　　 0　　　( ｜a｜ > 1 のとき）
を適用すると、a = 2t/T であるので（ a = 1 は t = T/2 に相当）、
　　f(t) = 1/T 　 ( ｜t｜ < T/2 のとき）
　　　 　　1/(2T) ( ｜t｜ = T/2 のとき）
　　　 　　0　　　　( ｜t｜ > T/2 のとき）
となり、（不連続点｜t｜ = T/2を除いて）元の関数に戻ります。