■音律と音階の科学（10）：　２つの音の重ね合わせ と うなり（JavaScript版）

　「音律と音階の科学」の中の「聴覚の錯覚 ― うなり」の項で扱っている音の重ね合わせによる波形についての話題の中から２、３紹介します。
　先ず、周波数の異なる２つの音（ともに正弦波で、振幅は同じ）を重ね合わせた結果を表示するアプリを紹介します。

　・音１、２の周波数（Hz）を小さい方から順に指定します。
　・「計算＆表示」ボタンを押すと、重ね合わせた結果を表示します。
　・「包絡線描画」のチェックをオンにすると、合成された波形の包絡線も表示します。

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音：	１	２
周波数（Hz）：

　　 　線の太さ：　　 包絡線描画

　２音の周波数（f1, f2）の差が小さい時に、その差｜f2-f1｜を周波数とする”うなり”が発生する様子が確認できます。

[ 計算式 ]
・２音の波形を次式で表します。
　　y1 = sinω₁t
　　y2 = sinω₂t
　　ここで、
　　　ω₁ = 2πf1, ω₂ = 2πf2
・すると合成した波形は、
　　y = y1 + y2
　　　= sinω₁t + sinω₂t
　　　= 2sin[(ω₁+ω₂)/2]t・cos[(ω₁-ω₂)/2]t
となり、周波数（f1+f2）/2の音に、周波数（f2-f1）/2の波が重なっています。このため強度は（f2-f1）で変動し、これがうなりです。